Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+x2﹣ax，a∈R
（1）若f（x）在P（x0 ， y0）（x∈[ ））處的切線方程為y=﹣2，求實數a的值；
（2）若x1 ， x2（x1＜x2）是函數f（x）的兩個零點，f′（x）是函數f（x）的導函數，證明：f′（ ）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意有lnx0+ ﹣ax0=﹣2， +2x0﹣a=0，

消去a得lnx0﹣ +1=0，x0∈[ ，+∞），

h（t）=lnt﹣t2+1，t∈[ ，+∞），

顯然h（1）=0，且h′（t）= ﹣2t= ≤0，

故lnx0﹣ +1=0當且僅當x0=1，

所以a= +2x0=3

（2）解：x1，x2是函數f（x）的兩個零點有f（x1）=lnx1+ ﹣ax1=0，

f（x2）=lnx2+ ﹣ax2=0，相減得a= +x1+x2，

∵f′（ ）= ﹣

所以要證明f′（ ）＜0，只需證明 ﹣ ＜0，（0＜x1＜x2），

即證明 ＞lnx1﹣lnx2，即證明 ＞ln （*）

令 =t∈（0，1），則g（x）=（1+t）lnt﹣2t+2，

則g′（t）=lnt+ ﹣1，g″（t）= ﹣ ＜0，

∴g′（t）在（0，1）遞減，g′（t）＞g′（1）=2＞0，

∴g（t）在（0，1）遞增，g（t）＜g（1）=0，

所以（*）成立，即f′（ ）＜0

【解析】（1）求出函數的導數，問題轉化為h（t）=lnt﹣t2+1，t∈[ ，+∞），根據函數的單調性求出a的值即可；（2）求出a= +x1+x2 ， 問題轉化為證明 ＞ln （*），令 =t∈（0，1），則g（x）=（1+t）lnt﹣2t+2，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．