Question

7．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若△ABC為銳角三角形，且滿足c=2acosB+a，則$\frac{{sin（{B-A}）}}{sinAsinB}$的取值范圍是（　�。�

• A． $（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• B． $（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• C． $（{0，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$
• D． $（{1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）$

Answer 1

分析 c=2acosB+a，利用正弦定理可得：sinC=2sinAcosB+sinA，又sinC=sin（A+B），代入化為：sin（B-A）=sinA．A，B為銳角，可得：B-A=A，可得：B=2A∈（0，$\frac{π}{2}$），A∈（0，$\frac{π}{4}$），又C=π-3A∈（0，$\frac{π}{2}$），可得：A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），k可得B∈$（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$．代入$\frac{{sin（{B-A}）}}{sinAsinB}$=$\frac{sinA}{sinAsinB}$=$\frac{1}{sinB}$．即可得出．

解答 解：∵c=2acosB+a，∴sinC=2sinAcosB+sinA，即sin（A+B）=2sinAcosB+sinA，
化為：sin（B-A）=sinA．
∵A，B為銳角，可得：B-A=A，可得：B=2A∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴A∈（0，$\frac{π}{4}$），
又∵C=π-3A∈（0，$\frac{π}{2}$），可得：A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），∴B∈$（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$．
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}＜$sinB＜1．
則$\frac{{sin（{B-A}）}}{sinAsinB}$=$\frac{sinA}{sinAsinB}$=$\frac{1}{sinB}$．
∴$\frac{{sin（{B-A}）}}{sinAsinB}$=$\frac{sinA}{sinAsinB}$=$\frac{1}{sinB}$∈$（1，\frac{2\sqrt{3}}{3}）$．
故選：D．

點評 本題考查了正弦定理、三角函數的單調性與求值、銳角三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．