Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{-{3}^{x}+a}{{3}^{x+1}+b}$．
（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，求滿足f（x）=3^x的x的值；
（2）若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
①判斷f（x）在R的單調(diào)性并用定義法證明；
②當(dāng)x≠0時(shí)，函數(shù)g（x）滿足f（x）•[g（x）+2]=$\frac{1}{3}$（3^-x-3^x），若對(duì)任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥m•g（x）-11恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=b=1時(shí)，f（x）=$\frac{-{3}^{x}+1}{{3}^{x+1}+1}$．由f（x）=3^x，可得滿足條件的x的值；
（2）若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=3\end{array}\right.$，
①f（x）在R上單調(diào)遞減，利用定義法，可證明結(jié)論；
②不等式g（2x）≥m•g（x）-11恒成立，即（3^x+3^-x）²-2≥m•（3^x+3^-x）-11恒成立，即m≤（3^x+3^-x）+$\frac{9}{{3}^{x}+{3}^{-x}}$恒成立，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，f（x）=$\frac{-{3}^{x}+1}{{3}^{x+1}+1}$．
若f（x）=3^x，即3（3^x）²+2•3^x-1=0，
解得：3^x=$\frac{1}{3}$，或3^x=-1（舍去），
∴x=-1；
（2）若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
則f（-x）=-f（x），即$\frac{-{3}^{-x}+a}{{3}^{-x+1}+b}$=$-\frac{-{3}^{x}+a}{{3}^{x+1}+b}$，
即（3a-b）（3^x+3^-x）+2ab-6=0，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=3\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-3\end{array}\right.$，
經(jīng)檢驗(yàn)，$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=3\end{array}\right.$滿足函數(shù)的定義域?yàn)镽，
∴f（x）=$\frac{-{3}^{x}+1}{{3}^{x+1}+3}$=$\frac{1}{3}（-1+\frac{2}{{3}^{x}+1}）$．
①f（x）在R上單調(diào)遞減，理由如下：
∵任取x₁＜x₂，
則${3}^{{x}_{1}}+1＞0$，${3}^{{x}_{2}}+1＞0$，${3}^{{x}_{2}}-{3}^{{x}_{1}}＞0$
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{3}（-1+\frac{2}{{3}^{{x}_{1}}+1}）$-$\frac{1}{3}（-1+\frac{2}{{3}^{{x}_{2}}+1}）$=$\frac{2（{3}^{{x}_{2}}-{3}^{{x}_{1}}）}{3（{3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R上是減函數(shù)；
②∵當(dāng)x≠0時(shí)，函數(shù)g（x）滿足f（x）•[g（x）+2]=$\frac{1}{3}$（3^-x-3^x），
∴g（x）=3^x+3^-x，（x≠0），
則g（2x）=3^2x+3^-2x=（3^x+3^-x）²-2，
不等式g（2x）≥m•g（x）-11恒成立，
即（3^x+3^-x）²-2≥m•（3^x+3^-x）-11恒成立，
即m≤（3^x+3^-x）+$\frac{9}{{3}^{x}+{3}^{-x}}$恒成立，
僅t=3^x+3^-x，則t＞2，
即m≤t+$\frac{9}{t}$，t＞2恒成立，
由對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：當(dāng)t=3時(shí)，t+$\frac{9}{t}$取最小值6，
故m≤6，
即實(shí)數(shù)m的最大值為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．