Question

5．已知定義在R上的可導函數f（x）的導函數為f′（x），滿足f′（x）＜f（x），且f（-x）=f（2+x），f（2）=1，則不等式f（x）＜e^x的解集為（　　）

• A． （-2，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求出函數的導數，求出g（0）=1，從而求出不等式的解集即可．

解答 解：∵f′（x）＜f（x），
∴f′（x）-f（x）＜0，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，
故g（x）在R遞減，
而f（-x）=f（2+x），
則f（1-x）=f（1+x），f（x）關于x=1對稱，
則f（2）=f（0）=1，
由f（x）＜e^x，得：g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1=g（0），
解得：x＞0，
故選：B．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．