Question

20．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D₁D=$\sqrt{2}$
（1）求證：AC⊥平面BB₁D₁D
（2）求四棱錐D₁-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出AC⊥BD，AC⊥DD₁，由此能證明AC⊥平面BB₁D₁D．
（2）四棱錐D₁-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}×D{D}_{1}$，由此能求出結果．

解答 證明：（1）∵在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC⊥DD₁，
∵BD∩DD₁=D，
∴AC⊥平面BB₁D₁D．
解：（2）∵D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，
且AB=1，D₁D=$\sqrt{2}$，
∴四棱錐D₁-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}×D{D}_{1}$=$\frac{1}{3}×{1}^{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查四棱錐體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．