Question

15．已知拋物線的焦點在x軸上，且經過點P$（\frac{1}{4}，-1）$，
（1）求拋物線的標準方程；
（2）經過焦點F且傾斜角是$\frac{π}{4}$的直線L與拋物線相交于兩點A和B，求弦長|AB|．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：設拋物線方程y²=2px，將P$（\frac{1}{4}，-1）$，代入拋物線方程，即可求得p的值，求得拋物線方程；
（2）方法一：設直線l的方程y=x-1，代入拋物線方程，由韋達定理求得x₁+x₂=6．|AB|=x₁+x₂+p=6+2=8；方法二：由拋物線的焦點弦公式可知：|AB|=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$=8．

解答 解：（1）拋物線的焦點在x軸上，經過點P$（\frac{1}{4}，-1）$，設拋物線方程y²=2px，
將P$（\frac{1}{4}，-1）$，代入拋物線方程：1=2p×$\frac{1}{4}$，2p=4，
∴拋物線的標準方程y²=4x；
（2）方法一：由（1）可知拋物線的焦點坐標F（1，0），直線l的斜率k=1，
設直線l的方程y=x-1，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：得x²-6x+1=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=6．
∴|AB|=x₁+x₂+p=6+2=8；
方法二：由拋物線的焦點弦公式可知：|AB|=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{4}{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=8，
弦長|AB|長為8．

點評 本題考查拋物線的標準方程及焦點弦公式，考查待定系數法的應用，要熟練掌握焦點弦的弦公式的特殊公式，考查計算能力，屬于中檔題．