Question

11．設函數f（x）=（2x+a）ⁿ，其中$n=6\int_0^{\frac{π}{2}}{cosxdx，\frac{f'（0）}{f（0）}}=-12$，則f（x）的展開式中x⁴的系數為240．

Answer 1

分析 利用定積分求出n的值，再求函數f（x）的導數，利用$\frac{f′（0）}{f（0）}$求出a的值，從而求出展開式中含x⁴項的系數．

解答 解：∵n=6${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=6sinx${|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=6，
∴函數f（x）=（2x+a）⁶，
∴f′（x）=12（x+a）⁵，
∴$\frac{f′（0）}{f（0）}$=$\frac{12{×a}^{5}}{{a}^{6}}$=-12，
解得a=-1，
∴f（x）=（2x-1）⁶展開式中含x⁴的項為
${C}_{6}^{2}$•（2x）^6-2•（-1）²=240x⁴；
它的系數是240．
故答案為：240．

點評 本題考查了定積分與基本初等函數的導數公式以及二項式展開式的應用問題，是中檔題．