Question

已知函數，其中a≠0．
（1）當a，b滿足什么條件時，f（x）取得極值？
（2）已知a＞0，且f（x）在區間（0，1]上單調遞增，試用a表示出b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由已知得f′（x）=ax²+2bx+1，
令f′（x）=0，得ax²+2bx+1=0，
f（x）要取得極值，方程ax²+2bx+1=0，必須有解，
所以△=4b²-4a＞0，即b²＞a，
此時方程ax²+2bx+1=0的根為
x₁==，x₂==，，
所以f′（x）=a（x-x₁）（x-x₂）
當a＞0時，

所以f（x）在x1，x2處分別取得極大值和極小值．
當a＜0時，

所以f（x）在x1，x2處分別取得極大值和極小值．
綜上，當a，b滿足b²＞a時，f（x）取得極值．
（2）要使f（x）在區間（0，1]上單調遞增，需使f′（x）=ax²+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立．
即b≥--，x∈（0，1]恒成立，
所以b≥-
設g（x）=--，g′（x）=-+=，
令g′（x）=0得x=或x=-（舍去），
當a＞1時，0＜＜1，當x∈（0，]時g′（x）＞0，g（x）=--單調增函數；
當x∈（，1]時g′（x）＜0，g（x）=--單調減函數，
所以當x=時，g（x）取得最大，最大值為g（）=-．
所以b≥-
當0＜a≤1時，≥1，
此時g′（x）≥0在區間（0，1]恒成立，
所以g（x）=--在區間（0，1]上單調遞增，當x=1時g（x）最大，最大值為g（1）=-，
所以b≥-
綜上，當a＞1時，b≥-；
0＜a≤1時，b≥-；
分析：（1）對函數求導，由題意可得f′（x）=0有解，由a≠0，分a＞0，a＜0討論可求解
（2）f（x）在區間（0，1]上單調遞增，可得f′（x）≥0在[0，1]上恒成立，從而轉化為求函數的最值，可求解．
點評：本題考查了函數極值取得的條件，函數的單調區間問題：由f′（x）＞0，解得函數的單調增區間；反之函數在[a，b]上單調遞增，則f′（x）≥0恒成立，進而轉化為求函數在區間[a，b]上的最值問題，體現了分類討論及轉化思想在解題中的應用．