Question

已知函數，其中a≠0
（1）若a=1，且f（x）的導函數的圖象關于直線x=2對稱時．試求f（x）在區間[0，2]上的最小值．
（2）若a＞0，且f（x）在區間（0，1]上單調遞增，試用a表示出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出f′（x），把a=1時代入到導函數中，然后因為f（x）的導函數的圖象關于直線x=2對稱得到b的值，確定出函數解析式．在區間[0，2]上討論函數的增減性，判斷求得函數的最小值；
（2）由f（x）在區間（0，1]上單調遞增得到導函數大于0，ax²+2bx+3＞0，?x∈（0，1]恒成立2bx＞-ax²-3即2b＞=-（ax+），設y=ax+，討論a的取值求出y的最小值即可得到b的取值范圍．
解答：解：f′（x）=ax²+2bx+3（2分）
（1）∵a=1
∴f′（x）=x²+2bx+3=（x+b）²+3-b²，
f（x）的導函數的圖象關于直線x=2對稱
∴b=-2，f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3）（4分）

f（x）在區間[0，2]上的最小值=min{（7分）
（2）由a＞0，且f（x）在區間（0，1]上單調遞增，
知：ax²+2bx+3＞0，?x∈（0，1]恒成立2bx＞-ax²-3
∵（10分）
為求最大值，先以下求函數的最小值
當時，y′（x）在上為負，在為正，
即y（x）在上遞減，在遞增y（x）的最小值是
當時，y′（x）在區間（0，1]上恒為負，
即y（x）在區間（0，1]上單調遞減，所以y（x）的最小值是y（1）=a+3（13分）
經檢驗，以上端點值也符合．
綜上所述，當a＞3時，b的取值范圍是
當0＜a≤3時b的取值范圍是（15分）
點評：考查學生利用導數研究函數單調性的能力，利用導數求閉區間上函數最值的能力．以及理解不等式恒成立時所取的條件．