Question

已知函數(shù)=，其中a≠0．

（1）若對一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合．

（2）在函數(shù)的圖像上取定兩點(diǎn)，，記直線AB的斜率為K，問：是否存在x₀∈（x₁，x₂），使成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）的取值集合為．

（2）存在使成立．且的取值范圍為 ．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）若，則對一切，，這與題設(shè)矛盾，又，故．

而令

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，

取最小值

于是對一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)

．　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

令則

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．

故當(dāng)時(shí)，取最大值．因此，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，①式成立．

綜上所述，的取值集合為．

（Ⅱ）由題意知，

令則

令，則．

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．

故當(dāng)，即

從而，又

所以

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使單調(diào)遞增，故這樣的是唯一的，且．故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， ．

綜上所述，存在使成立．且的取值范圍為 ．

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值，以及函數(shù)的最值的運(yùn)用，屬于難度題。