Question

已知函數，其中a≠0。
（1）若對一切x ∈R ，≥1恒成立，求a的取值集合。
（2）在函數的圖像上取定兩點，，記直線AB的斜率為K，問：是否存在x₀∈（x₁，x₂），使成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）若，則對一切，，這與題設矛盾，
又，故
而
令
當時，單調遞減；
當時，單調遞增，
故當時，取最小值
于是對一切恒成立，
當且僅當①
令
則
當時，單調遞增；
當時，單調遞減
故當時，取最大值
因此，當且僅當即時，①式成立
綜上所述，a的取值集合為。
（2）由題意知，
令
則
令，則
當時，單調遞減；
當時，單調遞增
故當，
即從而，
又
所以
因為函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，
所以存在使單調遞增，
故這樣的是唯一的，且
故當且僅當時，
綜上所述，存在使成立
且的取值范圍為。