Question

已知函數f（n）=

-n2，n=2k(k∈z) n2，n=2k-1(k∈z)

，a_n=f（n）+f（n+1），則a₁+a₂+…+a₁₀₀=（　　）

A．0

B．-100

C．100

D．10200

Answer 1

分析：對通項a_n=f（n）+f（n+1）研究發現：當n為奇數時，a_n=n²-（n+1）²=-2n-1，所有的奇數項組成一個首項為-3，公差為-2，項數為50的等差數列；當n為偶數時a_n=-n²+（n+1）²=2n+1，故所有的偶數項組成一個首項為5，公差為2，項數為50的等差數列，將奇數項與偶數項分別求和，然后再相加求數列前100項的和．

解答：解：由題意可知a₁=f（1）+f（2）=1-2²=-3；
a₂=f（2）+f（3）=-2²+3²=5；
a₃=f（3）+f（4）=3²-4²=-7，
由上可猜想：
當n為奇數時，a_n=n²-（n+1）²=-2n-1，
當n為偶數時a_n=-n²+（n+1）²=2n+1，
故所有的奇數項組成一個首項為-3，公差為-2，項數為50的等差數列；
所有的偶數項組成一個首項為5，公差為2，項數為50的等差數列．
由等差數列的前n項和公式Sn=（a₁-

d

2

）×n+

d

2

n²
得S_奇=（-3+1）×50-50²=-2600；
S_偶=（5-1）×50+50²=2700
所以S₁₀₀=S_偶+S_奇=2700-2600=100
故選C．

點評：本題是技巧型與能力型題，需要對數列形式進行研究，根據數列的特征來選擇解題的方法，這是本題的特點．