Question

20．設(shè)命題p：?x∈R，x²-ax+1≥0，命題q：?x＞0，$\frac{{x}^{2}+1}{x}$＜a，若（￢p）∨q是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 解法一：由（?p）∨q是真命題，得以下三種情況：（1）?p與q都是真命題，（2）?p是真命題，q是假命題，（3）?p是假命題，q是真命題，進而得到實數(shù)a的取值范圍．
解法二：由（?p）∨q是真命題，即 （?p）或q至少一個真，進而得到實數(shù)a的取值范圍．

解答 （本題滿分10分）
解：若p真，則有△=a²-4≤0，…（2分）
即-2≤a≤2，．…（3分）
∴?P：a＞2或a＜-2，…（4分）
若q真，由$\frac{{{x^2}+1}}{x}=x+\frac{1}{x}≥2$，…（5分）
得a＞2．…（6分）
解法一：由（?p）∨q是真命題，得以下三種情況：
（1）?p與q都是真命題，這時符合條件的實數(shù)a＞2；…（7分）
（2）?p是真命題，q是假命題，這時有a＜-2；…（8分）
（3）?p是假命題，q是真命題，這時不存在符合條件的實數(shù)a．…（9分）
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2）∪（2，+∞）．…（10分）
解法二：由（?p）∨q是真命題，即  （?p）或q至少一個真…（7分）
由    a＞2或a＜-2和  a＞2取并集                       …（8分）
得實數(shù)a的取值范圍是 （-∞，-2）∪（2，+∞）…（10分）
注：其他解法請參照給分．

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，特稱命題，全稱命題等知識點，難度中檔．