Question

設(shè)f（x）=（x²+x-1）（2x+1）²，試求f（x）的展開式中：
（Ⅰ）所有項(xiàng)的系數(shù)和；
（Ⅱ）所有偶次項(xiàng)的系數(shù)和及所有奇次項(xiàng)的系數(shù)和．

Answer 1

分析：（I）令f（x）中的x=1得到展開式中的所有項(xiàng)的系數(shù)和．
（II）再令f（x）中的x=-1，將得到的值與所有項(xiàng)的系數(shù)和相加除以2得到所有偶次項(xiàng)的系數(shù)和；將得到的值與所有項(xiàng)的系數(shù)和相減除以2得到所有奇次項(xiàng)的系數(shù)和．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴
令x=1得f（1）=3²=9=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄ ①
∴所有項(xiàng)的系數(shù)和9；
（Ⅱ）令x=-1得f（-1）=-1=a₀-a₁+a₂-a₃+a₄  ②

①+②

2

得所有偶次項(xiàng)的系數(shù)和=4；

①-②

2

得所有奇次項(xiàng)的系數(shù)和=5．

點(diǎn)評(píng)：求二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和問題，一般通過觀察，給二項(xiàng)式中的x賦值求得．