Question

已知tanα是方程x²+2xsecα+1=0的兩個根中較小的根，求α的值．

Answer 1

分析：由方程的兩根之積為1和較小根為tanα得到方程較大的根為

1

tanα

即cotα，然后根據兩根之和等于-2secα列出等式，利用同角三角函數間的基本關系化簡得到sinα的值，根據正弦函數的周期和特殊角的三角函數值求出α的值，代入到兩根之中檢驗得到符合題意的值．

解答：解：∵tanα是方程x²+2xsecα+1=0的較小根，
∴方程的較大根是cotα．
∵tanα+cotα=-2secα，即

1

sinαcosα

=-

2

cosα

∴sinα=-

1

2

．
解得α=2kπ+

7π

6

，或α=2kπ-

π

6

，?k∈Z．
當α=2kπ+

7π

6

(k∈Z)時，tanα=

3

3

，cotα=

3

；
當α=2kπ-

π

6

(k∈Z)時，tanα=-

3

3

，cotα=-

3

，不合題意．
∴α=2kπ+

7π

6

，?k∈Z．

點評：本題要求學生利用韋達定理解決數學問題，同時要求學生靈活運用同角三角函數間的基本關系化簡求值，學生容易忽視對α值的檢驗．