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已知tanα是方程x2+x-6=0的一個根,且α是第三象限角.
(Ⅰ)求式子
sinαcosα
2sin2α-cos2α
的值;
(Ⅱ)求cos(α+
π
3
)
sin(
π
6
-α)
的值.
分析:(Ⅰ)直接求出方程的兩個根,通過角的范圍,判斷正切的值,化簡式子
sinαcosα
2sin2α-cos2α
為角的正切關系式,然后求出表達式的值;
(Ⅱ)利用(Ⅰ),同角三角函數的基本關系式,求出sinα,cosα,利用兩角和與差的三角函數展開cos(α+
π
3
)
sin(
π
6
-α)
即可求出它們的值.
解答:解:(Ⅰ)x2+x-6=0的解為x1=-3或x2=2,因為α是第三象限角,
所以tanα>0,所以tanα=2           …(2分)
所以
sinαcosα
2sin2α-cos2α
=
tanα
2tan2α-1
=
2
7
     …(4分)
(Ⅱ)由已知:
sinα
cosα
=2
sin2α+cos2α=1
sinα=
2
5
5
cosα=
5
5
sinα=-
2
5
5
cosα=-
5
5
…(6分)
因為α是第三象限角,所以sinα<0且cosα<0,sinα=-
2
5
5
,cosα=-
5
5
…(7分)
cos(α+
π
3
)=cosαcos
π
3
-sinαsin
π
3
=
2
15
-
5
10
         …(10分)
因為(α+
π
3
)+(
π
6
-α)=
π
2

sin(
π
6
-α)
=sin[
π
2
-(α+
π
3
)]=cos(α+
π
3
)=
2
15
-
5
10
…(12分)
點評:本題考查角的三角函數的值的求法,三角函數的化簡,兩角和與差的三角函數的應用,考查計算能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知tanα,
1
tanα
是關于x的方程x2-kx+k2-3=0的兩個實根,且3π<α<
7
2
π
,求cosα+sinα的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知tanα,
1
tanα
是關于x的方程x2-kx+k2-3=0的兩實根,且3π<α<
7
2
π,求cos(3π+α)-sin(π+α)的值.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知tanα是方程x2+x-6=0的一個根,且α是第三象限角.
(Ⅰ)求式子
sinαcosα
2sin2α-cos2α
的值;
(Ⅱ)求cos(α+
π
3
)
sin(
π
6
-α)
的值.

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科目:高中數學 來源:2009-2010學年廣東省廣州市執信中學高一(下)期中數學試卷(解析版) 題型:解答題

已知tanα是方程x2+x-6=0的一個根,且α是第三象限角.
(Ⅰ)求式子的值;
(Ⅱ)求的值.

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