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已知三棱錐A-BCD中，AB=CD，AC=BD，E、F分別是AD、BC的中點，試用向量方法證明EF是AD與BC的公垂線．
考點：向量在幾何中的應用
專題：平面向量及應用
分析：由已知中AB=CD，AC=BD，可得
AC
2=
AB
2+
AD
2-2
AB
•
AD
，
AB
2=
CD
2=
AC
2+
AD
2-2
AC
•
AD
，故
AB
2=
AD
2-2
AC
•
AD
+
AB
2+
AD
2-2
AB
•
AD
，整理得2
AD
2-2(
AC
+
AB
)•
AD
=0，即
AD
 •(
AC
+
AB
-
AD
 )=2
AD
 •
EF
=0．進而可得
EF
⊥
AD
，同理可證：
EF
⊥
BC
，進而EF是AD與BC的公垂線．
解答： 證明：如圖所示：

∵F是BC的中點，
∴
EF
=
EA
+
AF
=-
1
2
AD
+
1
2
AB
+
1
2
AC
=
1
2
（
AB
+
AC
-
AD
），
又∵AC=BD，
∴|
AC
|=|
BD
|=|
AD
-
AB
|，
∴
AC
2=
AB
2+
AD
2-2
AB
•
AD
，
同理由AB=CD得：
AB
2=
CD
2=
AC
2+
AD
2-2
AC
•
AD
，
故
AB
2=
AD
2-2
AC
•
AD
+
AB
2+
AD
2-2
AB
•
AD
，
∴2
AD
2-2(
AC
+
AB
)•
AD
=0，
∴
AD
 •(
AC
+
AB
-
AD
 )=2
AD
 •
EF
=0．
即
EF
⊥
AD
，
同理可證：
EF
⊥
BC
，
故EF是AD與BC的公垂線．
點評：本題考查的知識點是向量垂直的充要條件，向量加法的三角形法則，難度中檔．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知動點E在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC上，F是CD的中點，則二面角C1-EF-C的余弦值的取值范圍
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

雙曲線
x2
16
-
y2
9
=1，A（8，4），過A作直線l交雙曲線于P，Q兩點，A恰為P，Q的中點，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

計算：
lim
n→∞
（
n2+n+1
-
n2-n-1
）=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義域在R上的函數y=f（x）是減函數，則f（a-2）-f（4-a2）＜0，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=Asin（ωx+φ）+b的一部分圖象如圖所示，若A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）的單調遞增區間；
（3）若f（
x
2
+
π
6
）=
1
3
，求f（x+
π
6
）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在四棱錐中S-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，AB=BC=
1
2
AD，E為AD中點，且SA⊥底面ABCD．證明：BE∥面SCD．

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科目：高中數學 來源： 題型：

比較大�。�
1
2
1
3
、
1
3
1
2
、logπ
3e
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）求方程f（x）=1的解集．

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同步練習冊答案
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