Question

已知0＜a＜2，0＜b＜2，0＜c＜2、求證：

a(2-b

)，

b(2-c)

，

c(2-a)

不可能都大于1．

Answer 1

分析：先對結論進行否定，再利用基本不等式，推出矛盾即可．

解答：證明：假設

a(2-b)

，

b(2-c)

，

c(2-a)

同時大于1，則

a(2-b)

+

b(2-c)

+

c(2-a)

＞3①
∵0＜a＜2，0＜b＜2，0＜c＜2，
∴

a(2-b)

≤

a+2-b

2

，

b(2-c)

≤

b+2-c

2

，

c(2-a)

≤

c+2-a

2

∴

a(2-b)

+

b(2-c)

+

c(2-a)

≤

a+2-b

2

+

b+2-c

2

+

c+2-a

2

=3
這與①矛盾，
∴

a(2-b)

，

b(2-c)

，

c(2-a)

不可能都大于1．

點評：本題考查用反證法證明數學命題，把要證的結論進行否定，在此基礎上推出矛盾，是解題的關鍵．