Question

已知f(x)=-2asin(2x+

π

6

)+2a+b，x∈[

π

4

，

3π

4

]，是否存在常數a，b∈Q，使得f（x）的值域為{y|-3≤y≤

3

-1}？若存在，求出a，b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：先假設存在a，b滿足條件；根據x的范圍求出2x+

π

6

的范圍進而得到sin（2x+

π

6

）的范圍，然后對a分大于0和小于0兩種情況討論即可得到答案．

解答：解：存在a=-1，b=1滿足要求．
∵

π

4

≤x≤

3π

4

，∴

2π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

3

，∴-1≤sin(2x+

π

6

)≤

3

2

，
若存在這樣的有理a，b，則
（1）當a＞0時，

- 3 a+2a+b=-3 2a+2a+b= 3 -1

無解．
（2）當a＜0時，

2a+2a+b=-3 - 3 a+2a+b= 3 -1

解得a=-1，b=1，
即存在a=-1，b=1滿足要求．

點評：本題主要考查三角函數的值域問題．在解此類問題時一定要重視自變量x的取值范圍才能防止出錯．