Question

19．設函數$f（x）={log_2}（4x）•{log_2}（2x），\frac{1}{4}≤x≤4$．
（1）若t=log₂x，求y關于t的函數解析式，并寫出t的范圍；?
（2）求f（x） 的最值，并給出最值時相應的x值．

Answer 1

分析 （1）令t=log₂x，利用對數的運算性質可得y=（2+t）•（1+t），再根據x的范圍，求得t的范圍．
（2）根據y=${（t+\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，利用二次函數的性質求得函數y在[-2，2]上的最值，以及取得最值時相應的x值．

解答 解：（1）∵函數$f（x）={log_2}（4x）•{log_2}（2x），\frac{1}{4}≤x≤4$，
若t=log₂x，則y=（2+log₂x）•（1+log₂x）=（2+t）•（1+t）=t²+3t+2，
∵$\frac{1}{4}$≤x≤4，∴-2≤t≤2，故關于t的函數解析式為y═t²+3t+2 （-2≤t≤2 ）．
（2）∵y=f（x）=t²+3t+2=${（t+\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，
函數y在[-2，-$\frac{3}{2}$]上單調遞減，在（$\frac{3}{2}$，+∞）上單調遞增，
故在在[-2，2]上，當t=-$\frac{3}{2}$時，函數y取得最小值為-1，此時，x=2$\sqrt{2}$；
當t=2時，函數y取得最大值為12，此時，x=4．

點評 本題主要考查對數的運算性質、二次函數的性質，屬于中檔題．