Question

（2013•德州二模）已知定義在R上的函數f（x），g（x）滿足

f(x)

g(x)

=ax，且f'（x）g（x）＞f(x)g′(x)，

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，若有窮數列{

f(n)

g(n)

}(n∈N*)的前n項和等于126，則n等于（　　）

A．4

B．5

C．6

D．7

Answer 1

分析：首先由已知條件結合導數大于0判斷出a^x為實數集上的增函數，由此得到a＞1，再由

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=a+

1

a

=

5

2

求出a的值，然后利用等比數列的前n項和公式求解n的值．

解答：解：由[

f(x)

g(x)

]′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

，
而f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），所以[

f(x)

g(x)

]′＞0，
即函數

f(x)

g(x)

=ax為實數集上的增函數，
則a＞1．
又

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=a+

1

a

=

5

2

，解得a=2．
則數列{

f(n)

g(n)

}(n∈N*)為數列{2ⁿ}，
此數列是以2為首項，以2為公比的等比數列，
由前n項和等于126，得126=

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2，解得n=6．
故選C．

點評：本題考查了函數的單調性與導數間的關系，考查了導數的運算法則，訓練了利用等比數列的前n項和公式求值，是中檔題．