Question

（2013•德州二模）已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，該雙曲線與拋物線y²=16x的準線交于A，B兩點，若|AB|=6

5

，則雙曲線的方程為（　　）

• A．x2-

  y2

  3

  =1
• B．

  x2

  2

  -

  y2

  6

  =1
• C．

  x2

  3

  -y2=1
• D．

  x2

  4

  -

  y2

  12

  =1

Answer 1

分析：根據雙曲線方程，求出拋物線的準線方程，利用|AB|=6

5

，即可求得結論．

解答：解：∵拋物線y²=16x，2p=16，p=8，∴

p

2

=4．
∴拋物線的準線方程為x=-4．
設雙曲線與拋物線的準線x=-4的兩個交點A（-4，y），B（-4，-y）（y＞0），
則|AB|=|y-（-y）|=2y=6

5

，∴y=3

5

．
將x=-4，y=3

5

．
代入雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1，得

16

a2

-

45

b2

=1，①
又雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，∴

c

a

=2，
即

a2+b2

a2

=4，b²=3a²②
由①②得a²=1，b²=3，
∴雙曲線C的方程為x2-

y2

3

=1，
故選A．

點評：本題考查拋物線，雙曲線的幾何性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題．