Question

有一個倒置圓錐，它的軸截面是一個正三角形，容器內放一個半徑為R的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求此時容器內水的深度．

Answer 1

考點：旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：空間位置關系與距離

分析：由題意求出球的體積，求出圓錐的體積，設出水的高度，求出水的圓錐的體積，利用V_水+V_球=V_容器，求出圓錐內水平面高．

解答： 解：如圖．在容器內注入水，并放入一個半徑為R的鐵球，這時水面記為AB，
將球從圓錐內取出后，這時水面記為EF．
三角形PAB為軸截面，是正三角形，
三角形PEF也是正三角形，圓O是正三角形PAB的內切圓．
由題意可知，DO=CO=R，AO=2R=OP，AC=

3

R，
∴V球=

4

3

πR³，
未取出小于時，圓錐的體積，即V_水+V_球=

1

3

π（

3

R）²•3R=3πR³，
又設HP=h，則EH=

3

3

h
∴V_水=

1

3

π（

3

3

h）²•h=

π

9

h³，
則

π

9

h³+

4

3

πR³=3πR³，
∴h=

3	15

R
即圓錐內的水深是

3	15

R

點評：本小題主要考查球的體積和表面積、旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）等基礎知識，考查運算求解能力，考查轉化思想．屬于基礎題．