Question

設f（x）為R⁺→R⁺的函數，對任意正實數x，f（5x）=5f（x），當x∈[1，5]時f（x）=2-|x-3|，則使得f（x）=f（665）的最小實數x為（　　）

• A、45
• B、65
• C、85
• D、165

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：實際上，此題類似于“周期函數”，只是這個“周期”是每次五倍增大變化的，要求其解析式，只需將x化歸到[1，5]上即可．而與f（665）相等的也不止一個，為此我們只需找到相應的那個區間即可求出來．

解答： 解：∵f（5x）=5f（x），
∴f（x）=5f（

x

5

），
∴f（665）=5⁴f（1.064）=40，
同理f（x）=5ⁿf（

x

5n

）=

5n( x 5n -1)，1≤ x 5n ≤3 5n(5- x 5n )，3＜ x 5n ≤5

當

5n( x 5n -1) 1≤ x 5n ≤3

當n=2時，找的第一個符合前面條件的x=65；
當

5n(5- x 5n ) 3＜ x 5n ≤5

當n=2時找到最小的x=85符合前面條件．
綜上，當x=65時滿足題意．
故選B．

點評：本題應屬于選擇題中的壓軸題，對學生的能力要求較高，解決問題的關鍵在于如何將f（665）轉化到[1，5]上求出它的函數值，二是如何利用方程思想構造方程，按要求求出x的值．