Question

在直角坐標系中，O為原點．點A在x軸的正半軸上，點B在y軸的正半軸上，tan∠OAB=2．二次函數y=x²+mx+2的圖象經過點A，B，頂點為D．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）將△OAB繞點A順時針旋轉90°后，點B落到點C的位置．將上述二次函數圖象沿y軸向上或向下平移后經過點C．請直接寫出點C的坐標和平移后所得圖象的函數解析式；
（3）設（2）中平移后所得二次函數圖象與y軸的交點為B₁，頂點為D₁．點P在平移后的二次函數圖象上，且滿足△PBB₁的面積是△PDD₁面積的2倍，求點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由題意可得點B（0，2），由tan∠OAB=

OB

OA

=2，求得OA的值，可得 A的坐標，再把點A的坐標代入二次函數的解析式求得m的值，可得函數的解析式．
（2）作CE垂直于x軸，點E為垂足，可得CE=OA=1，AE=OB=2，C（3，1）．設平移后所得圖象的函數解析式為y=x²-3x+c，再把點C的坐標代入，求得c的值，可得平移后所得圖象的函數解析式．
（3）平移后所得圖象的函數解析式為y=x²-3x+1，它的圖象的對稱軸方程為x=

3

2

，且BB₁ =DD₁=1．由題意可得BB₁邊上的高是DD₁邊上的高的2倍．再分點P在對稱軸的右側時、點P在對稱軸的左側兩種情況，分別求得P的坐標．

解答： 解：（1）由題意可得點B（0，2），由tan∠OAB=2=

OB

OA

，求得 OA=1，可得 A（1，0），
再把點A的坐標代入二次函數y=x²+mx+2，可得1+m+2=0，求得m=-3，
故函數y=x²-3x+2．
（2）作CE垂直于x軸，點E為垂足，∵∠CAB=90°，∴∠CAE=∠OBA，△CAE≌△OBA，
可得CE=OA=1，AE=OB=2，∴C（3，1）．
由于將上述二次函數圖象沿y軸向上或向下平移后經過點C，可設平移后所得圖象的函數解析式為y=x²-3x+c，
再把點C的坐標代入，可得1=9-9+c，求得c=1，∴平移后所得圖象的函數解析式為y=x²-3x+1．
（3）平移后所得圖象的函數解析式為y=x²-3x+1，它的圖象的對稱軸方程為x=

3

2

，且BB₁ =DD₁=1．
由△PBB₁的面積是△PDD₁面積的2倍，可得BB₁邊上的高是DD₁邊上的高的2倍．
當點P在對稱軸的右側時，由x=2（x-

3

2

），求得 x=3，可得P（3，1）．
當點P在對稱軸的左側時，由-x=2（

3

2

-x），求得 x=1，可得P（1，-1）．
綜上可得，點P的坐標為（3，1），或（1，-1）．

點評：本題主要考查二次函數的性質，函數圖象的平移變換，體現了分類討論、等價轉化的數學思想，屬于基礎題．