Question

【題目】已知元素為實數的集合滿足下列條件：①， ；②若，則．

（I）若，求使元素個數最少的集合；

（II）若非空集合為有限集，則你對集合的元素個數有何猜測？并請證明你的猜測正確．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的元素個數為的倍數;證明見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）將分別代入②可得， ， ， ，再將分別代入②可得； ，故所求為. （Ⅱ）設 代入②有， ， ，反證法證明， ， 兩兩不同， ，；再設 ，同理得；所以的元素個數為的倍數.

試題解析：

解：（I），則， ，可得； ，則， ，可得，

∴，使元素個數最少的集合為．

（II）非空有限集的元素個數是的倍數．

證明如下：

（）設則， 且，則， ，

假設，則無實數根，故．

同理可證， ， 兩兩不同．

即若有，則必有．

（）若存在，必有

． ．

于是．

上述推理還可繼續，由于為有限集，故上述推理有限步可中止，

∴的元素個數為的倍數．