Question

12．在如圖所示的電路中，電源兩端電壓不變．當只閉合開關S、S₃時，電流表的示數為I₁，電路的總功率是3W；當開關S、S₁、S₂、S₃都閉合時，電流表的示數為I₂，電路的總功率是10.5W，電阻R₂的功率是4.5W．
求：（1）電流I₁與I₂之比．
（2）電阻R₁和R₃的比值．
（3）只閉合開關S、S₂時，電阻R₁電功率．

Answer 1

分析 先畫出三種情況的等效電路圖：
（1）根據P=UI結合圖甲和圖乙中電路消耗的總功率求出兩電路的電流之比．
（2）根據P=$\frac{{U}^{2}}{R}$分別表示出圖乙中R₂、R₃消耗的電功率，再根據P=$\frac{{U}^{2}}{R}$和電阻的串聯表示出圖甲中電路消耗的總功率，聯立以上等式求出三電阻阻值之間的關系；
（3）根據P=$\frac{{U}^{2}}{R}$表示出圖丙中電路消耗的總功率，結合圖甲中電路的總功率和電阻之間的關系求出圖丙中電路的總功率，根據P=I²R和串聯電路的總功率得出R₁消耗的總功率和電路總功率之間的關系結合比值關系即可求出電阻R₁電功率．

解答 解：
當只閉合開關S、S₃時，等效電路圖如圖甲所示；
當開關S、S₁、S₂、S₃都閉合時，等效電路圖如圖乙所示；
當只閉合開關S、S₂時，等效電路圖如圖丙所示；

（1）電源電壓一定，根據P=UI，由圖甲可知：P=UI₁=3W，
電源電壓一定，根據P=UI，由圖乙可知：P′=UI₂=10.5W，
所以：$\frac{P}{P′}$=$\frac{U{I}_{1}}{U{I}_{2}}$=$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{3W}{10.5W}$，
所以：$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{2}{7}$；
（2）由圖乙可知：P₂=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}$=4.5W…①
P₃=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{3}}$=P_總′-P₂=10.5W-4.5W=6W…②
解①②式得：$\frac{{R}_{3}}{{R}_{2}}$=$\frac{3}{4}$，
由圖甲可得：$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=3W…③
解②③式得：2R₃=R₁+R₂，又有$\frac{{R}_{3}}{{R}_{2}}$=$\frac{3}{4}$，
解得：$\frac{{R}_{1}}{{R}_{3}}$=$\frac{2}{3}$；
（3）由圖3可得：R₁與R₃串聯的總功率為：P_總=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{3}}$…④，
解③④式得：P_總=$\frac{3W×（{R}_{1}+{R}_{2}）}{{R}_{1}+{R}_{3}}$=3W×$\frac{{R}_{1}+2{R}_{1}}{{R}_{1}+\frac{3}{2}{R}_{1}}$=3.6W，
$\frac{{P}_{總}}{{P}_{1}}$=$\frac{3.6W}{{P}_{1}}$=$\frac{{R}_{1}+{R}_{3}}{{R}_{1}}$=$\frac{{R}_{1}+\frac{3}{2}{R}_{1}}{{R}_{1}}$=2.5，
P₁=$\frac{3.6W}{2.5}$=1.44W．
答：（1）電流I₁與I₂之比為2：7．
（2）電阻R₁和R₃的比值為2：3．
（3）只閉合開關S、S₂時，電阻R₁電功率為1.44W．

點評 本題考查串并聯電路上各電阻上的功率、電壓與電阻值之間特點的應用，記住串聯電路中電流相等，功率、電壓與電阻成正比，并聯電路中電壓相等，功率、電流與電阻成反比；對于阻值一定的電阻來說，消耗的功率與它兩端的電壓的平方成正比．