Question

1．“貴陽至南寧高速鐵路”項目于2016年12月開工，全線長約512km，設計最高行車速度達350km/h．該高鐵線途徑河池市的環江、金城江、都安等地，預計2021年正適通車運行，通車后河池市將步入高鐵時代．建設中用到的某種起重機的結構示意圖如圖所示，用該起重機將放在水平地面上的長方體混凝土墩放入水中．起重機的吊臂OAB粗細不計，可以看作杠桿，吊臂B端連著滑輪組，已知混凝土墩的密度為2.5×10³kg/m³、底面積為4m²、高為2m，ρ_水=1.0×10³kg/m³．求：
（1）混凝土墩的質量；
（2）混凝土墩被提起到最高點靜止時，立柱CA恰好豎直，OA：OB=1：6．若忽略滑輪組、鋼絲繩和吊臂的重力及各種摩擦，則起重機立柱CA對吊臂A點豎直向上的作用力是多少N．
（3）混凝土浸沒在水中后，它勻速下降過程中所受鋼絲繩的拉力．（不計水的阻力）

Answer 1

分析 （1）根據V=Sh算出混凝土墩的體積；根據m=ρV算出混凝土墩的質量；
（2）作出動力臂和阻力臂，利用相似三角形求出動力臂與阻力臂之比，然后根據杠桿平衡條件計算起重機立柱CA對吊臂A點豎直向上的作用力

解答 解：（1）混凝土墩的體積為：V=Sh=4m²×2m=8m³；
根據ρ=$\frac{m}{V}$得混凝土墩的質量為：
m=ρV=2.5×10³kg/m³×8m³=2×10⁴kg；
（2）混凝土墩浸沒在水中受到浮力是：
F_浮=ρ_水gV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×8m³=8×10⁴N；
混凝土墩的重力：
G=mg=2×10⁴kg×10N/kg=2×10⁵N；
如圖，

作出動力臂和阻力臂，
在Rt△AOC和Rt△BOD中，AC∥BD，
所以△AOC∽△BOD，
OA：OB=1：6
所以，OC：OD=1：6，
由圖知，當石墩被提起且仍浸沒在水中時，若忽略動滑輪、鋼繩和吊臂的重力及各種摩擦，
石墩對杠桿B點的拉力為F_B=G-F_浮=2×10⁵N-8×10⁴N=1.2×10⁵N，
根據杠桿平衡條件可得：F_A×OC=F_B×OD，
起重機立柱CA對吊臂A點豎直向上的作用力：
F_A=$\frac{{F}_{B}×OD}{OC}$=$\frac{{F}_{B}×6OC}{OC}$=6F_B=6×1.2×10⁵N=7.2×10⁵N；
（3）混凝土浸沒在水中后，它勻速下降過程中所受鋼絲繩的拉力等于重力減去浮力，拉力為F_拉=F_B=G-F_浮=2×10⁵N-8×10⁴N=1.2×10⁵N，
答：（1）混凝土墩的質量是2×10⁴kg；
（2）起重機立柱CA對吊臂A點豎直向上的作用力是7.2×10⁵N；（3）混凝土浸沒在水中后，它勻速下降過程中所受鋼絲繩的拉力是1.2×10⁵N．

點評 本題主要考查密度、浮力、杠桿的平衡等知識，是一道綜合題．