Question

8．有一直壁圓筒，其底面直徑為D，另有一密度為0.6×10³kg/m³的圓柱形木塊，其高度為h₀，底面直徑為d，將木塊放入直壁圓筒中（如圖甲所示，下方系有細(xì)繩且
壓在木塊下），向其內(nèi)部倒水（ρ_水，g為已知量）．
（1）當(dāng)木塊對(duì)圓筒底部的壓力恰好為0時(shí)，注入水的質(zhì)量m₁是多少？
（2）當(dāng)注入質(zhì)量為m₂的水時(shí)，水面恰好與木塊上方相平（如圖乙所示），請(qǐng)?jiān)趫D乙中畫(huà)出木塊的受力示意圖．
（3）求圖乙中水對(duì)底面的壓強(qiáng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)S=πr²求出木塊和圓筒的底面積，當(dāng)木塊對(duì)圓筒底部的壓力恰好為0時(shí)，木塊漂浮，受到的浮力和自身的重力相等，根據(jù)阿基米德原理和G=mg=ρVg=ρShg求出容器內(nèi)水的深度，根據(jù)V_水=（S_筒-S_木）h_水求出容器內(nèi)注入水的體積，根據(jù)m=ρV求出注入水的質(zhì)量；
（2）當(dāng)注入質(zhì)量為m₂的水時(shí)，水面恰好與木塊上方相平，木塊受到豎直向上的浮力和豎直向下的重力、繩子的拉力，據(jù)此作出木塊的受力示意圖；
（3）根據(jù)V=$\frac{m}{ρ}$求出容器內(nèi)水的體積，水的體積加上木塊的體積然后與容器的底面積之比即為水的深度，根據(jù)p=ρgh求出水對(duì)底面的壓強(qiáng)．

解答 解：（1）木塊的橫截面積S_木=πr_木²=π（$\fracp9vv5xb5{2}$）²=$\frac{πp9vv5xb5^{2}}{4}$，圓筒的底面積S_筒=πr_筒²=π（$\frac{D}{2}$）²=$\frac{π{D}^{2}}{4}$．
當(dāng)木塊對(duì)圓筒底部的壓力恰好為0時(shí)，設(shè)水的深度為h_水，
因木塊漂浮，受到的浮力和自身的重力相等，
所以，由F_浮=ρgV_排=ρgS_木h_水和G=mg=ρVg=ρShg可得：
ρ_水gS_木h_水=ρ_木S_木h₀g，
解得：h_水=$\frac{{ρ}_{木}}{{ρ}_{水}}$h₀，
容器中注入水的體積：
V_水=（S_筒-S_木）h_水=（$\frac{π{D}^{2}}{4}$-$\frac{πp9vv5xb5^{2}}{4}$）×$\frac{{ρ}_{木}}{{ρ}_{水}}$h₀，
注入水的質(zhì)量：
m₁=ρ_水V_水=ρ_水×（$\frac{π{D}^{2}}{4}$-$\frac{πp9vv5xb5^{2}}{4}$）×$\frac{{ρ}_{木}}{{ρ}_{水}}$h₀=ρ_木h₀×$\frac{π（{D}^{2}-p9vv5xb5^{2}）}{4}$=0.6×10³kg/m³×h₀×$\frac{π（{D}^{2}-p9vv5xb5^{2}）}{4}$=150π（D²-d²）h₀；
（2）當(dāng)注入質(zhì)量為m₂的水時(shí)，水面恰好與木塊上方相平，木塊受到豎直向上的浮力和豎直向下的重力、繩子的拉力，
則木塊的受力示意圖，如下圖所示：

（3）容器內(nèi)水的體積：
V_水′=$\frac{{m}_{2}}{{ρ}_{水}}$，
容器內(nèi)水的深度：
h_水′=$\frac{{V}_{水}′+{V}_{木}}{{S}_{筒}}$=$\frac{{V}_{水}′+{S}_{木}{h}_{0}}{{S}_{筒}}$=$\frac{\frac{{m}_{2}}{{ρ}_{水}}+\frac{πp9vv5xb5^{2}}{4}{h}_{0}}{\frac{π{D}^{2}}{4}}$=$\frac{4{m}_{2}+πp9vv5xb5^{2}{h}_{0}{ρ}_{水}}{{ρ}_{水}π{D}^{2}}$，
水對(duì)底面的壓強(qiáng)：
p=ρ_水gh_水′=ρ_水g$\frac{4{m}_{2}+πp9vv5xb5^{2}{h}_{0}{ρ}_{水}}{{ρ}_{水}π{D}^{2}}$=$\frac{（4{m}_{2}+1000πp9vv5xb5^{2}{h}_{0}）g}{π{D}^{2}}$．
答：（1）當(dāng)木塊對(duì)圓筒底部的壓力恰好為0時(shí)，注入水的質(zhì)量是150π（D²-d²）h₀；
（2）木塊的受力示意圖如上圖所示；
（3）圖乙中水對(duì)底面的壓強(qiáng)為$\frac{（4{m}_{2}+1000πp9vv5xb5^{2}{h}_{0}）g}{π{D}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了物體浮沉條件和密度公式、重力公式、液體壓強(qiáng)公式的綜合應(yīng)用，要注意木塊對(duì)圓筒底部的壓力恰好為0時(shí)木塊沒(méi)有離開(kāi)容器底部，正確的求出水面恰好與木塊上方相平時(shí)水的深度是關(guān)鍵．