Question

7．同學們在實驗室里自制密度計．某同學選取了一支圓柱形鉛筆，并且用一段相同的金屬絲纏繞在鉛筆的一端．自制的密度計可在液體中豎直漂�。�如圖所示，根據它在液體中浸沒的深度得知這種液體的密度．小芳的設計和制作過程如下：
①根據阿基米德原理及物體漂浮條件，推導出密度計在純水中浸沒的深度h的表達式．
②根據h的表達式，測量這支密度計自身的某些物理量，算出密度計在純水中浸沒的深度，在管上畫上純水的密度值線A（如圖甲）．
③把密度計放入純水中，驗證刻度線A的位置是否準確．
請你根據上述的內容完成下列問題：
（1）把密度計放在水中使其漂浮，如圖乙所示．請你推導出密度計在純水中浸沒深度的表達式h（金屬絲體積不計）．
（2）請你寫出②步驟中所需用的測量儀器及對應測量的物理量．
（3）步驟③中，若水面在刻度線A以上，請你簡要寫出一種校準的方法．
（4）若把校準后的密度計放在密度為1.1×10³ kg/m³的鹽水中，液面的位置在純水密度值刻度線上方還是下方？為什么？

Answer 1

分析 （1）要求密度計在純水中浸沒的深度，要利用密度計的使用原理，密度計在使用時處于平衡狀態，此時浮力大小等于重力大小，浮力不變．然后利用浮力等于重力，求出排開液體體積的大小，再根據求出的體積，算出深度h．
（2）根據所得公式分析h=$\frac{4m}{ρπp9vv5xb5^{2}}$，公式中ρπ均屬已知，只需測出質量和直徑．質量可以用托盤天平或彈簧測力計測出，直徑可以用直尺或三角板測出．
（3）實踐是檢驗真理的唯一標準，所以最后的結果要根據實際來校準最后的刻度線．若水面在刻度線以上，由于漂浮浮力等于重力，說明此時重力較大，為了與實際值相吻合，從鉛筆上剪下適量長度的金屬絲，減小密度計的重力便可．
（4）而最后一問可以根據深度公式h=$\frac{4m}{ρπp9vv5xb5^{2}}$，在其他量不變的情況下，密度越大，深度越�。�而鹽水密度大于水的密度，所以其深度更淺，液面位置在刻度線的下方．

解答 解：（1）由于密度計處于平衡狀態，F_浮=G_物，
根據F_浮=ρgV_排和G=mg可得：ρgV_排=mg，
V_排=Sh=π$（\fracp9vv5xb5{2}）^{2}$h，
則，ρgπ$（\fracp9vv5xb5{2}）^{2}$h=mg，
解得，h=$\frac{4m}{ρπp9vv5xb5^{2}}$．
（2）根據第一問中的深度公式，可以看出我們需測出質量和直徑兩個物理量，另外深度也就是刻度線位置也需要測量出．所以用天平（帶砝碼）測量裝了纏有金屬絲鉛筆的總質量為m；用刻度尺測量玻璃管的底面直徑為d和在管上確定純水的密度值線A的位置
（3）一切均以實際為標準，若水面在刻度線以上，這時需要剪下適量長度的金屬絲減少密度計總質量，使刻度線與水面相持平．所以從鉛筆上剪下適量長度的金屬絲，使水面剛好在刻度線A處；
（4）由于鹽水密度比水大，在浮力不變的情況下，排開液體的體積減小，則應該在刻度線的下方；因為依密度計浸沒的深度公式h=$\frac{4m}{ρπp9vv5xb5^{2}}$知，待測液體的密度越大，密度計浸沒液體的深度越淺．
答：（1）密度計在純水中浸沒深度的表達式h=$\frac{4m}{ρπp9vv5xb5^{2}}$．
（2）用天平（帶砝碼）測量裝了纏有金屬絲鉛筆的總質量為m；用刻度尺測量出鉛筆的直徑為d和在鉛筆上確定純水的密度值線A的位置
（3）從鉛筆上剪下適量長度的金屬絲，使水面剛好在刻度線A處
（4）下方；因為依密度計浸沒的深度公式h=$\frac{4m}{ρπp9vv5xb5^{2}}$知，待測液體的密度越大，密度計浸沒液體的深度越淺．

點評 本題目比較復雜，這里所有的已知量均用字母表示，要現根據密度計的使用原理，利用公式求出最后的結果．