Question

2．如圖所示，一根細(xì)繩懸掛一個半徑為r、質(zhì)量為m的半球，半球的底面與容器底部緊密接觸，此容器內(nèi)液體的密度為ρ，高度為H，大氣壓強(qiáng)為p₀，已知球體的體積公式是V=$\frac{4π{r}^{3}}{3}$．求：
（1）容器底部A點(diǎn)受到的壓強(qiáng)
（2）若要把半球從水中拉起，則至少要用多大的豎直向上的拉力．

Answer 1

分析 （1）A點(diǎn)受到的壓強(qiáng)等于A點(diǎn)受到液體的壓強(qiáng)與大氣壓之和；
（2）浸沒在液體中的固態(tài)受到的浮力等于固態(tài)各表面所受液體壓力的合力；我們可以先設(shè)想半球的底面與容器底面沒有接觸，求出此時下表面受到的液體壓力和半球體受到的浮力，從而求出此時液體對半球體上表面的壓力；然后對半球體進(jìn)行受力分析，求出把半球體從水中拉起需要的拉力．

解答 解：（1）A點(diǎn)受到液體的壓強(qiáng)為：
p_液=ρgH；
由于大氣壓為p₀，
故A點(diǎn)的壓強(qiáng)為：p=p_液+p₀=ρgH+p₀；
（2）假設(shè)半球的底面與容器底面沒有接觸，根據(jù)F_浮=ρgV_排、p=ρgh和p=$\frac{F}{S}$可得，上下表面的液體的壓力差為：
F_向下=F_向上-F_浮=p_向上-ρgV_排=ρgHπr²-ρg（$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$πr³）=ρgπr²（H-$\frac{2}{3}$r），
半球表面受到大氣壓力，因為水平方向相互抵消（如圖），只有豎直方向作用力為F_大=p₀S=p₀πr²，
剛要拉起時，容器底板對半球的下表面已無向上的支持力，
則豎直向上的拉力F_拉至少要等于上述的F_向下、F_大與半球本身的中之和，即：
F_拉=F_向下+F_大+G=ρgπr²（H-$\frac{2}{3}$r）+p₀πr²+mg．
答：（1）容器底部A點(diǎn)受到的壓強(qiáng)為ρgH+p₀；
（2）若要把半球從水中拉起，至少要用豎直向上的拉力為ρgπr²（H-$\frac{2}{3}$r）+p₀πr²+mg．

點(diǎn)評 本題難度較大，是一道難題，知道浮力產(chǎn)生的原因、熟練應(yīng)用壓強(qiáng)公式的變形公式、液體壓強(qiáng)公式、對半球正確受力分析等是正確解題的關(guān)鍵．