Question

13．汽車沿著指向從甲地開往乙地．
（1）若在一半路程的平均速度為v₁，后一半路程為v₂，則汽車全程的平均速度$\overline{v}$為多少？
（2）若汽車在全程所用時間的前一半的速度為v₁和后一半的速度為v₂（v₁≠v₂），則全程平均速度是多少？
（3）兩種情況下的平均速度哪個大？

Answer 1

分析 （1）由速度公式的變形公式求出汽車的運動時間，然后由平均速度公式求出全程的平均速度；
（2）由速度公式的變形公式求出前一半時間通過的路程和后一半時間通過的路程，然后由平均速度公式求出全程的平均速度；
（3）利用作差法比較兩者平均速度的大小關系．

解答 解：
（1）設甲乙兩地間的距離為2s，則前半段與后半段的路程均為s，
由v=$\frac{s}{t}$得，汽車的運動時間分別為：
t₁=$\frac{s}{{v}_{1}}$，t₂=$\frac{s}{{v}_{2}}$，
則汽車全程的平均速度：
$\overline{v}$=$\frac{2s}{{t}_{1}+{t}_{2}}$=$\frac{2s}{\frac{s}{{v}_{1}}+\frac{s}{{v}_{2}}}$=$\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$；
（2）設全程的時間為2t，
則前一半時間通過的路程為s₁=v₁t，后一半時間通過的路程為s₂=v₂t，
所以，全程的平均速度：
v=$\frac{{s}_{1}+{s}_{2}}{2t}$=$\frac{{v}_{1}t+{v}_{2}t}{2t}$=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$；
（3）因v₁≠v₂，
所以，v-$\overline{v}$=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$-$\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$=$\frac{（{v}_{1}+{v}_{2}）^{2}-4{v}_{1}{v}_{2}}{2（{v}_{1}+{v}_{2}）}$=$\frac{（{v}_{1}-{v}_{2}）^{2}}{2（{v}_{1}+{v}_{2}）}$＞0，
則（2）的平均速度大于（1）的平均速度．
答：（1）汽車全程的平均速度$\overline{v}$為$\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$；
（2）全程平均速度是$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$；
（3）通過比較可知（2）的平均速度大于（1）的平均速度．

點評 本題考查了求汽車的平均速度問題，熟練應用平均速度公式及其變形公式即可正確解題，解題時要注意，平均速度是物體的路程與所用時間的比值，求平均速度應先求出路程與所對應的運動時間．