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如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE．已知∠BAC＝30º，EF⊥AB，垂足為F，連結DF．

（1）求證：AC＝EF；

（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

【解析】由等邊△ABE和Rt△ABC，求得Rt△ABC∽Rt△EAF，即可得AC＝EF，由等邊三角形的性質得出∠BDF=30°，從而證得△DBF≌△EFA，則AE=DF，再由FE=AB，得出四邊形ADFE為平行四邊形

先化簡：；若結果等于，求出相應x的值．

【解析】此題考核分式的化簡

在某市舉辦的“讀好書，講禮儀”活動中，東華學校積極行動，各班圖書角的新書、好書不斷增多，除學校購買外，還有師生捐獻的圖書．下面是七年級（1）班全體同學捐獻圖書的情況統計圖：

請你根據以上統計圖中的信息，解答下列問題：

（1）該班有學生多少人？

（2）補全條形統計圖；

（3）七（1）班全體同學所捐獻圖書的中位數和眾數分別是多少？

【解析】（1）根據捐2本的人數是15人，占30%，即可求得總人數；

（2）首先根據總人數和條形統計圖中各部分的人數計算捐4本的人數，進而補全條形統計圖；

（3）根據中位數和眾數的定義解答

某批發商以每件50元的價格購進800件T恤．第一個月以單價80元銷售，售出了200件；第二個月如果單價不變，預計仍可售出200件，批發商為增加銷售量，決定降價銷售，根據市場調查，單價每降低1元，可多售出10件，但最低單位應高于購進的價格；第二個月結束后，批發商將對剩余的T恤一次性清倉銷售，清倉時單價為40元．設第二個月單價降低x元．

（1）填表(不需要化簡)

（2）如果批發商希望通過銷售這批T恤獲利9000元，那么第二個月的單價應是多少元？

【解析】一元二次方程的運用

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝2，∠C＝60°，M是BC的中點．

（1）求證：△MDC是等邊三角形；

（2）將△MDC繞點M旋轉，當MD(即MD′)與AB交于一點E，MC(即MC′)同時與AD交于一點F時，點E，F和點A構成△AEF．試探究△AEF的周長是否存在最小值．如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出△AEF周長的最小值．

【解析】此題考核等邊三角形的判定，旋轉的性質

如圖，已知，以為直徑，為圓心的半圓交于點，點為弧CF的中點，連接交于點，為△ABC的角平分線，且，垂足為點．

（1）求證：是半圓的切線；

（2）若，，求的長．

【解析】此題考核圓的切線，相似三角形的性質

已知：如圖1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA四條邊上的點(且不與各邊頂點重合)，設m＝EF+FG+GH+HE，探索m的取值范圍．

（1）如圖2，當E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA四邊中點時，m＝________．

（2）為了解決這個問題，小貝同學采用軸對稱的方法，如圖3，將整個圖形以CD為對稱軸翻折，接著再連續翻折兩次，從而找到解決問題的途徑，求得m的取值范圍．

①請在圖1中補全小貝同學翻折后的圖形；

②m的取值范圍是____________．

【解析】本題主要考查對平行四邊形的性質和判定，全等三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握

已知一元二次方程x²＋ax＋a－2＝0．

（1）求證：不論a為何實數，此方程總有兩個不相等的實數根；

（2）設a＜0，當二次函數y＝x²＋ax＋a－2的圖象與x軸的兩個交點的距離為時，求出此二次函數的解析式；

（3）在（2）的條件下，若此二次函數圖象與x軸交于A、B兩點，在函數圖象上是否存在點P，使得△PAB的面積為，若存在求出P點坐標，若不存在請說明理由．

【解析】（1）判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式△=b²-4ac的值的符號就可以了，（2）根據二次函數圖象與x軸的兩個交點的距離公式解答即可．(3)是二次函數綜合應用問題和三角形的綜合應用

如圖，在△ABC中，點D是BC上一點，∠B＝∠DAC＝45°．

（1）如圖1，當∠C＝45°時，請寫出圖中一對相等的線段；_________________

（2）如圖2，若BD＝2，BA＝，求AD的長及△ACD的面積．

【解析】（1）由題意知△ABC、△ABD、△ACD為等腰直角三角形，可求得，（2）利用勾股定理求得AD的長，求得AEDCGD，即可求得△ACD的面積

巳知二次函數y＝a(x²－6x＋8)(a＞0)的圖象與x軸分別交于點A、B，與y軸交于點C．點D是拋物線的頂點．

（1）如圖①．連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點O的對應點0'恰好落在該拋物線的對稱軸上，求實數a的值；

（2）如圖②，在正方形EFGH中，點E、F的坐標分別是(4，4)、(4，3)，邊HG位于邊EF的右側．小林同學經過探索后發現了一個正確的命題：“若點P是邊EH或邊HG上的任意一點，則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個平行四邊形的四條邊對應相等(即這四條線段不能構成平行四邊形)．“若點P是邊EF或邊FG上的任意一點，剛才的結論是否也成立？請你積極探索，并寫出探索過程；

（3）如圖②，當點P在拋物線對稱軸上時，設點P的縱坐標l是大于3的常數，試問：是否存在一個正數a，使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個平行四邊形的四條邊對應相等(即這四條線段能構成平行四邊形)？請說明理由．

【解析】二次函數的綜合運用