Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝2，∠C＝60°，M是BC的中點．

（1）求證：△MDC是等邊三角形；

（2）將△MDC繞點M旋轉，當MD(即MD′)與AB交于一點E，MC(即MC′)同時與AD交于一點F時，點E，F和點A構成△AEF．試探究△AEF的周長是否存在最小值．如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出△AEF周長的最小值．

 

【解析】此題考核等邊三角形的判定，旋轉的性質

 

Answer 1

（1）證明：過點D作DP⊥BC，于點P，過點A作AQ⊥BC于點Q，

∵∠C＝∠B＝60°

∴CP＝BQ＝AB，CP＋BQ＝AB，

又∵ADPQ是矩形，AD＝PQ，

故BC＝2AD，

由已知，點M是BC的中點，

BM＝CM＝AD＝AB＝CD，

即△MDC中，CM＝CD，∠C＝60°，

故△MDC是等邊三角形．

（2）解：△AEF的周長存在最小值，理由如下：

連接AM，由（1）平行四邊形ABMD是菱形，

△MAB，△MAD和△MC′D′是等邊三角形，

∠BMA＝∠BME＋∠AME＝60°，∠EMF＝∠AMF＋∠AME＝60°，

∴∠BME＝∠AMF，

在△BME與△AMF中，BM＝AM，∠EBM＝∠FAM＝60°，

∴△BME≌△AMF(ASA)，

∴BE＝AF，ME＝MF，AE＋AF＝AE＋BE＝AB，

∵∠EMF＝∠DMC＝60°，故△EMF是等邊三角形，EF＝MF，

∵MF的最小值為點M到AD的距離，即EF的最小值是，

△AEF的周長＝AE＋AF＋EF＝AB＋EF，

△AEF的周長的最小值為2＋，

所以存在，△AEF的周長的最小值為2＋．