Question

5．已知：如圖，已知點A、B、C在⊙O上，且點B是$\widehat{AC}$的中點，當OA=5cm，cos∠OAB=$\frac{3}{5}$時．
（1）求△OAB的面積；
（2）聯結AC，求弦AC的長．

Answer 1

分析 （1）過O作OH⊥AB于H，根據cos∠OAB=$\frac{3}{5}$，得到$\frac{AH}{AO}=\frac{3}{5}$，求得AH=3cm，OH=4cm，AB=2AH=6cm，根據三角形的面積公式即可進行求解；
（2）設AC交OB于M，由B是$\widehat{AC}$的中點，得到$\widehat{AB}=\widehat{BC}$，求出AB=BC，推出OB垂直平分AC，即可得到結論．

解答 解：（1）過O作OH⊥AB于H，
∵cos∠OAB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AH}{AO}=\frac{3}{5}$，
∴AH=3cm，OH=4cm，AB=2AH=6cm，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$AB•OH=12cm²；

（2）設AC交OB于M，∵B是$\widehat{AC}$的中點，
∴$\widehat{AB}=\widehat{BC}$，∴AB=BC，
∵OA=OC，
故O，B均在線段AC的垂直平分線上，
∴OB垂直平分AC，
∴AM=AB•sin∠MBA=6×$\frac{4}{5}$=$\frac{24}{5}$，
∴AC=2AM=$\frac{48}{5}$cm．

點評 本題考查了垂徑定理，解直角三角形，線段垂直平分線的判定和性質，正確的作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．