Question

13．如圖，BD為⊙O的直徑，點A是弧BC的中點，AD交BC于E點，AE=2，ED=4
（1）求證：△ABE∽△ADB； 
（2）求BE長．

Answer 1

分析 （1）根據已知條件可以推出弧AB與弧AC相等，所以∠ABC=∠ADB，結合圖形，即可推出△ABE∽△ABD，
（2）根據相似三角形的性質，就可推出AB的長度，根據勾股定理，即可求出BE的值．

解答 （1）證明：如圖，連接AC，
∵點A是弧BC的中點，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠ACB=∠ADB，
∴∠ABC=∠ADB．
又∵∠BAE=∠BAE，
∴△ABE∽△ABD；

（2）解：∵AE=2，ED=4，
∴AD=AE+ED=2+4=6，
∵△ABE∽△ABD，BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∵△ABE∽△ABD，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AB}{AD}$，
∴AB²=AE•AD=2×6=12，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ADB中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=4．

點評 本題主要考查相似三角形的判定和性質、圓周角定理、銳角三角函數的定義，關鍵在于找到相似三角形，根據相關的定理求出有關邊的長度．