Question

（本題12分））如圖，點B、C、D都在⊙O上，過點C作AC∥BD交OB延長線于點A，連接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm．

（1）直線AC與⊙O有怎樣的位置關系？為什么？

（2）求由弦CD、BD與弧BC所圍成的陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）根據圖形猜想：AC是⊙O的切線，連結OC只要證明OC⊥AC即可；（2）設OC與BD交于點M．根據條件可證△CDM≌△OBM，然后陰影部分的面積可轉化為扇形COB的面積.

試題解析：（1） AC是⊙O的切線； 1分

證明：如圖，連接BC，OD，OC，設OC與BD交于點M．

∠COB=2∠CDB=2×30°=60°， 3分

∵AC∥BD，∴∠A=∠OBD=30°， 4分

∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°，即OC⊥AC，

∵OC為半徑，∴AC是⊙O的切線； 6分

（2）【解析】
∵AC∥BD，OC⊥AC ∴OC⊥BD． 8分

由垂徑定理可知，MD=MB=BD=．

在Rt△OBM中，∠COB=60°，OB=6．

在△CDM與△OBM中，

∴△CDM≌△OBM

∴S△CDM=S△OBM 10分

∴陰影部分的面積S陰影=S扇形BOC==6π（cm2）． 12分

考點：1.切線的判定；2.全等三角形的判定與性質；3.扇形的面積.