Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，CD是⊙O的切線，C為切點，AD⊥CD于點D．求證：

（1）∠AOC=2∠ACD；

（2）AC²=AB•AD．

Answer 1

【考點】切線的性質；圓周角定理；相似三角形的判定與性質．

【專題】證明題．

【分析】（1）由CD是⊙O的切線得到∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，而利用OC=OA得到∠ACO=∠CAO，然后利用三角形的內角和即可證明題目的結論；

（2）如圖，連接BC．由AB是直徑得到∠ACB=90°，然后利用已知條件可以證明在Rt△ACD∽Rt△ABC 接著利用相似三角形的性質即可解決問題．

【解答】證明：（1）∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD=90°，

即∠ACD+∠ACO=90°．①

∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，

∴∠AOC=180°﹣2∠ACO，即∠AOC+2∠ACO=180°，

兩邊除以2得：∠AOC+∠ACO=90°．②

由①，②，得：∠ACD﹣∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；

（2）如圖，連接BC．

∵AB是直徑，∴∠ACB=90°．

在Rt△ACD與Rt△ABC中，

∵∠AOC=2∠B，

∴∠B=∠ACD，

∴Rt△ACD∽Rt△ABC，

∴，即AC²=AB•AD．

【點評】本題考查了圓的切線性質，及相似三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．