Question

如圖，已知在Rt△OAC中，O為坐標原點，直角頂點C在x軸的正半軸上，反比例函數y=（k≠0）在第一象限的圖象經過OA的中點B，交AC于點D，連接OD．若△OCD∽△ACO，則直線OA的解析式為　　　　　　．

Answer 1

　y=2x　．

【考點】相似三角形的性質；反比例函數圖象上點的坐標特征．

【專題】數形結合．

【分析】設OC=a，根據點D在反比例函數圖象上表示出CD，再根據相似三角形對應邊成比例列式求出AC，然后根據中點的定義表示出點B的坐標，再根據點B在反比例函數圖象上表示出a、k的關系，然后用a表示出點B的坐標，再利用待定系數法求一次函數解析式解答．

【解答】解：設OC=a，

∵點D在y=上，

∴CD=，

∵△OCD∽△ACO，

∴=，

∴AC==，

∴點A（a，），

∵點B是OA的中點，

∴點B的坐標為（，），

∵點B在反比例函數圖象上，

∴=，

∴=2k²，

∴a⁴=4k²，

解得，a²=2k，

∴點B的坐標為（，a），

設直線OA的解析式為y=mx，

則m•=a，

解得m=2，

所以，直線OA的解析式為y=2x．

故答案為：y=2x．

【點評】本題考查了相似三角形的性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，用OC的長度表示出點B的坐標是解題的關鍵，也是本題的難點．