Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直弦AC于點E，且交⊙O于點D，F是BA延長線上一點，若∠CDB=∠BFD．

（1）求證：FD∥AC；

（2）試判斷FD與⊙O的位置關系，并簡要說明理由；

（3）若AB=10，AC=8，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）FD是⊙O的切線，理由見解析；（3）DF．

【解析】

（1）因為∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，所以∠CAB=∠BFD，即可得出FD∥AC；

（2）利用圓周角定理以及平行線的判定得出∠FDO=90°，進而得出答案；

（3）利用垂徑定理得出AE的長，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出FD的長．

解：

（1）∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，

∴∠CAB=∠BFD，

∴FD∥AC，

（2）∵∠AEO=90°，FD∥AC，

∴∠FDO=90°，

∴FD是⊙O的一條切線

（3）∵AB=10，AC=8，DO⊥AC，

∴AE=EC=4，AO=5，

∴EO=3，

∵AE∥FD，

∴△AEO∽△FDO，

∴，

∴，

解得：DF．