Question

【題目】已知直線y＝mx+n（m≠0，且m，n為常數(shù)）與雙曲線y＝（k＜0）在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，C，D是該雙曲線另一支上兩點(diǎn)，且A、B、C、D四點(diǎn)按順時(shí)針順序排列．

（1）如圖，若m＝﹣，n＝，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為，

①求k的值；

②作線段CD，使CD∥AB且CD＝AB，并簡(jiǎn)述作法；

（2）若四邊形ABCD為矩形，A的坐標(biāo)為（1，5），

①求m，n的值；

②點(diǎn)P（a，b）是雙曲線y＝第一象限上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)S△APC≥24時(shí)，則a的取值范圍是　 　．

Answer 1

【答案】（1）①k= 5；②見解析，由此AO交雙曲線于點(diǎn)C，延長(zhǎng)BO交雙曲線于點(diǎn)D，線段CD即為所求；（2）①；②0＜a＜1或a＞5

【解析】

（1）①求出直線的解析式，利用待定系數(shù)法即可解決問題；②如圖，由此AO交雙曲線于點(diǎn)C，延長(zhǎng)BO交雙曲線于點(diǎn)D，線段CD即為所求；

（2）①求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題；②分兩種情形求出△PAC的面積＝24時(shí)a的值，即可判斷．

（1）①∵，，

∴直線的解析式為，

∵點(diǎn)B在直線上，縱坐標(biāo)為，

∴，

解得x＝2

∴，

∴；

②如下圖，由此AO交雙曲線于點(diǎn)C，延長(zhǎng)BO交雙曲線于點(diǎn)D，線段CD即為所求；

（2）①∵點(diǎn)在上，

∴k＝5，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA＝OB＝OC＝OD，

∴A，B關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，

∴，

則有：，解得；

②如下圖，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC，AC′，PC，PC′，PA．

∵A，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，

∴，

∵，

當(dāng)時(shí)，

∴，

∴，

∴a＝5或(舍棄)，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，同法可得a＝1，

∴滿足條件的a的范圍為或．