Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于點D．點P從點D出發，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度，當點P運動到C時，兩點都停止．設運動時間為t秒．

（1）求線段CD的長；

（2）當t為何值時，△CPQ與△ABC相似？

（3）是否存在某一時刻，使得PQ分△ACD的面積為2：3？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）CD＝；（2）t為3秒或秒時，△CPQ與△ABC相似；（3）不存在，見解析.

【解析】

（1）先利用勾股定理求出AB＝10，進利用面積法求出CD；

（2）先表示出CP，再判斷出∠ACD＝∠B，進而分兩種情況，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出結論；

（3）先判斷出△CEQ∽△CDA，得出，進而表示出QE＝t，再分當S△CPQ＝S△ACD時，和當S△CPD＝S△ACD時，利用面積建立方程求解即可得出結論．

解：（1）在Rt△ABC中，根據勾股定理得，AB＝＝＝10，

∵S△ABC＝ACBC＝ABCD，

∴CD＝＝＝，

（2）由（1）知，CD＝，

由運動知，CQ＝t，DP＝t，

∴CP＝CD﹣DP＝﹣t，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCD＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠B+∠BCD＝90°，

∴∠ACD＝∠B，

∵△CPQ與△ABC相似，

∴①△CPQ∽△BCA，

∴，

∴，

∴t＝3

②△CPQ∽△BAC，

∴，

∴

∴t＝，

即：t為3秒或秒時，△CPQ與△ABC相似；

（3）假設存在，如圖，

在Rt△ACD中，根據勾股定理得，AD＝＝＝，

過點Q作CE⊥CD于E，

∴QE∥AD，

∴△CEQ∽△CDA，

∴，

∴，

∴QE＝t，

∵S△CPQ＝CPQE＝（﹣t）t，

∴S△ACD＝ADCD＝××，

∵PQ分△ACD的面積為2：3，

∴①當S△CPQ＝S△ACD時，

∴（﹣t）t＝×××，

∴25t2﹣120t+384＝0而△＝1202﹣4×25×384＝14400﹣38400＜0，

此方程無解，即：此種情況不存在，

②當S△CPD＝S△ACD時，（﹣t）t＝×××，

∴25t2﹣120t+576＝0，而△＝1202﹣4×25×576＝14400﹣57600＜0，

此方程無解，即：此種情況不存在，

即：不存在某時刻，使得PQ分△ACD的面積為2：3．