Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E，F分別在AD，DC上，且△BEF為等邊三角形，下列結論：

①DE=DF；②∠AEB=75°；③BE=DE；④AE+FC=EF．

其中正確的結論個數有（ ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】根據三角形的全等的知識可以判斷①的正誤；根據角角之間的數量關系，以及三角形內角和為180°判斷②的正誤；根據等腰直角三角形的性質可判斷③的正誤；根據線段垂直平分線的知識可以判斷④的正誤.

解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∵△BEF是等邊三角形，∴BBF，∵在Rt△ABE和Rt△BCF中，AB=BC，BE=BF，∴Rt△ABE≌△BCF（HL）∴AE=CF，AD=DC，AD-AE=CD-CF，

∴DE=DF，∴①正確；

∵DE=DF，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°，∵∠BEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②正確；

∵BE=EF=DE，∴③正確；

如圖，連接BD，交EF于G點，

∴BD⊥EF，且BD平分EF，∵∠CBD≠∠DBF，∴CF≠FG，∴AE+FC≠EF，∴④錯誤；

故選C.

“點睛”本題考查了全等三角形的判定和性質，正方形的性質，等邊三角形的性質，考本題中 求值△ABE≌△BCF是解題的關鍵.