Question

27、閱讀下文，尋找規(guī)律：
已知x≠1，觀察下列各式：（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴…
（1）填空：（1-x）（1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷）=1-x⁸．
（2）觀察上式，并猜想：①（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=

1-xⁿ⁺¹

．
②（x-1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1）=

x¹¹-1

．
（3）根據你的猜想，計算：
①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=

1-2⁶

．
②1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁷=

2²⁰⁰⁸-1

．

Answer 1

分析：觀察下列各式（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴可以推出（1-x）（1+x+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹，即右邊項的最大指數等于左邊項最大指數，左邊的項是對右邊項的因式分解，依此規(guī)律分別求解．

解答：解：（1）由（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴
可以看出每一個等式左邊的最大指數等于右邊的最大指數，且左邊相當于對右邊的因式分解，
所以得出規(guī)律：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹．
即：（1-x）（1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷）=1-x⁸，空白處應填：（1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷）．

（2）由（1）得出的規(guī)律可得：
①（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹，空白處應填：1-xⁿ⁺¹
②（x-1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1）=-（1-x¹¹）=x¹¹-1，空白處應填：x¹¹-1．

（3）由（1）得出的規(guī)律可得
①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=1-2⁶，空白處應填1-2⁶；
②由（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁷）=1-2²⁰⁰⁸得
1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁷=2²⁰⁰⁸-1，空白處應填2²⁰⁰⁸-1．

點評：本題是規(guī)律型的，關鍵在于根據各式發(fā)現規(guī)律（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹，使等式左右兩邊的最大指數相同且左邊是右邊的因式分解得規(guī)律．