Question

閱讀下文，尋找規律：已知x≠1，計算：（1﹣x）（1+x）=1﹣x²，（1﹣x）（1+x+x²）=1﹣x³，（1﹣x）（1+x+x²+x³）=1﹣x⁴…
（1）觀察上式，猜想：（1﹣x）（1+x+x²+…+xⁿ）= _________ ．證明你的猜想：
（2）根據你的猜想，計算：（1﹣2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶）= _________ ．

Answer 1

解：
（1）由（1﹣x）（1+x）=1﹣x²，
（1﹣x）（1+x+x²）=1﹣x³，
（1﹣x）（1+x+x²+x³）=1﹣x⁴
可以看出每一個等式左邊的最大指數等于右邊的最大指數，
且左邊相當于對右邊的因式分解，
所以得出規律：
（1﹣x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1﹣xⁿ⁺¹．
（2）由（1）得出的規律可得（1﹣2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶）=1﹣2⁷=﹣127，
空白處應填﹣127；
故答案為：1﹣xⁿ⁺¹，﹣127；