Question

27、閱讀下文，尋找規律：已知x≠1，計算：（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴…
（1）觀察上式，猜想：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=

1-xⁿ⁺¹

．
證明你的猜想：
（2）根據你的猜想，計算：（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶）=

-127

．

Answer 1

分析：觀察下列各式（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴可以推出（1-x）（1+x+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹，即右邊項的最大指數等于左邊項最大指數，左邊的項是對右邊項的因式分解，依此規律分別求解．

解答：解：（1）由（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴
可以看出每一個等式左邊的最大指數等于右邊的最大指數，且左邊相當于對右邊的因式分解，
所以得出規律：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹．
（2）由（1）得出的規律可得
（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶）=1-2⁷=-127，空白處應填-127；
故答案為：1-xⁿ⁺¹，-127；

點評：本題是規律型的，關鍵在于根據各式發現規律（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹，使等式左右兩邊的最大指數相同且左邊是右邊的因式分解的規律．