Question

15．某公司計劃從商店購買同一品牌的洗衣液和洗手液，已知購買一袋洗衣液比購買一袋洗手液多用20元，若用400元購買洗衣液和用160元購買洗手液，則購買洗衣液的袋數是購買洗手液袋數的一半，請解答下列問題：
（1）求購買該品牌一袋洗衣液、一袋洗手液各需多少元？
（2）經商談，商店給予該公司購買一袋該品牌洗衣液贈送一袋該品牌洗手液的優惠，如果該公司需要洗手液的袋數是洗衣液袋數的2倍還多8袋，且該公司購買洗衣液和洗手液的總費用不少超過670元，且購買洗衣液不少于19袋，該公司有哪幾種購買方案？
（3）根據（2）的數據計算公司將購買的洗衣液和洗手液作為福利發給公司優秀的員工，A種福利1袋洗衣液，4袋洗手液；B中福利2袋洗衣液，3袋洗手液，公司購買的洗衣液和洗手液恰好全部發放，直接寫出公司獲得福利的優秀員工共有幾人．

Answer 1

分析 （1）設購買該品牌一袋洗手液需要x元，則購買該品牌一袋洗衣液需要（x+20）元，根據數量=總價÷單價結合“用400元購買洗衣液和用160元購買洗手液，則購買洗衣液的袋數是購買洗手液袋數的一半”，即可得出關于x的分式方程，解之并檢驗后即可得出結論；
（2）設購買洗衣液y袋，則購買洗手液（2y+8）袋，根據“公司購買洗衣液和洗手液的總費用不少超過670元，且購買洗衣液不少于19袋”，即可得出關于y的一元一次不等式組，解之即可得出y的取值范圍，由y可取的數值即可得出購買方案；
（3）設公司獲得A種福利的優秀員工有a人，獲得B種福利的優秀員工有b人，根據分配方式結合三種購買方案即可得出關于a、b的二元一次方程組，解之即可得出a、b值，由a、b均為正整數確定a、b的值，將其相加后即可得出結論．

解答 解：（1）設購買該品牌一袋洗手液需要x元，則購買該品牌一袋洗衣液需要（x+20）元，
根據題意得：$\frac{400}{x+20}$×2=$\frac{160}{x}$，
解得：x=5，
經檢驗：x=5是原方程的解，
∴x+20=5+20=25．
答：購買該品牌一袋洗手液需要5元，購買該品牌一袋洗衣液需要25元．
（2）設購買洗衣液y袋，則購買洗手液（2y+8）袋，
根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{25y+5（2y+8-y）≤670}\\{y≥19}\end{array}\right.$，
解得：19≤y≤21，
∵21-19+1=3，
∴該公司有三種購買方案．
∵19×2+8=46（袋），20×2+8=48（袋），21×2+8=50（袋）．
∴方案一：購買19袋洗衣液和46袋洗手液；方案二：購買20袋洗衣液和48袋洗手液；方案三：購買21袋洗衣液和50袋洗手液．
（3）設公司獲得A種福利的優秀員工有a人，獲得B種福利的優秀員工有b人，
根據題意得：
①方案一：$\left\{\begin{array}{l}{a+2b=19}\\{4a+3b=46}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=7}\\{b=6}\end{array}\right.$，
此時a+b=7+6=13；
②方案二：$\left\{\begin{array}{l}{a+2b=20}\\{4a+3b=48}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=7.2}\\{b=6.4}\end{array}\right.$，
∵a、b均為正整數，
∴該結論不符合題意；
③方案三：$\left\{\begin{array}{l}{a+2b=21}\\{4a+3b=50}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=7.4}\\{b=6.8}\end{array}\right.$，
∵a、b均為正整數，
∴該結論不符合題意．
綜上所述：公司獲得福利的優秀員工共有13人．

點評 本題考查了一元一次不等式組的應用、分式方程的應用以及二元一次方程組的應用，解題的關鍵是：（1）根據數量關系列出關于x的分式方程；（2）根據數量關系列出關于y的一元一次不等式組；（3）根據數量關系列出關于a、b的二元一次方程組．