Question

10．如圖1，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的邊AB上取一點M，在CD上取一點N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點K，得到△MNK，KB交MN于O．
（1）①若∠1=80°，求∠MKN=20°；
②不同的折疊得到不同的△MNK，△MNK的面積的最大值為$\frac{13}{10}$．
（2）將紙片按如圖2所示的方法再沿KP折疊，使點M在線段KD上，兩次折疊部分與原矩形的重合部分為四邊形KPMN，設四邊形KPMN的面積為S．
①判斷四邊形KPMN的形狀，并說明理由；
②求出S的最小值與最大值；
③四邊形KPMN能成為某種特殊四邊形嗎？指出此時折痕MN需要滿足的條件，并求出S的值．

Answer 1

分析 （1）①只要證明∠KNM=∠KMN=80°，即可解決問題．
②如圖1中，當點B與點D重合時，△MKN的面積最大，設DM=x．根據勾股定理列出方程即可解決問題．
（2）①結論：四邊形KPMN是平行四邊形．只要證明KN=PM，KN∥PM即可．
②當點D與M重合，點B與點K重合時，S最大，設BD=B′D=BD′=x，A′P=C′N=y，由題意$\left\{\begin{array}{l}{2x+Y=5}\\{{x}^{2}=1+{y}^{2}}\end{array}\right.$，解方程組即可．當MK⊥A′B′時，根據垂線段最短可知，MK的最小值為1，此時S的最小值為1．
③當∠NMB′=60°或120°時，四邊形KPMN是菱形．求出菱形的高和邊長即可．

解答 解：（1）①如圖2中，

∵DN∥AM，
∴∠DNM=∠1=80°，
∵∠KMN=∠1=80°，
∴∠NKM=180°-∠KNM-∠KMN=20°，
故答案為20°．

②如圖1中，當點B與點D重合時，△MKN的面積最大，設DM=x．

在Rt△AMD中，AD=1，AM=5-x，DM=x，
∴x²=1²+（5-x）²，
∴x=$\frac{13}{5}$，
由①可知∠DMN=∠DNM，
∴KN=DM=$\frac{13}{5}$，
∴△KNM的面積最大值為$\frac{1}{2}$•$\frac{13}{5}$•1=$\frac{13}{10}$．
故答案為$\frac{13}{10}$．

（2）①結論：四邊形KPMN是平行四邊形．
理由：如圖3中，

∵A′B′∥C′D′，
∴∠KNM=∠NMB′=∠NMK，
∴KN=KM，同理可證KM=PM，
∴KN=PM，∵KN∥PM，
∴四邊形KPMN是平行四邊形．

②如圖4中，

當點D與M重合，點B與點K重合時，S最大．設BD=B′D=BD′=x，A′P=C′N=y，
由題意$\left\{\begin{array}{l}{2x+Y=5}\\{{x}^{2}=1+{y}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{10-\sqrt{22}}{3}}\\{y=\frac{2\sqrt{22}-5}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{10+\sqrt{22}}{3}}\\{y=\frac{-5-2\sqrt{22}}{3}}\end{array}\right.$（舍棄）．
∴NK=$\frac{10-\sqrt{22}}{3}$，
∴S的最大值=$\frac{10-\sqrt{22}}{3}$．
當MK⊥A′B′時，根據垂線段最短可知，MK的最小值為1，此時S的最小值為1．

③四邊形KPMN能成為某種特殊四邊形，當∠NMB′=60°或120°時，四邊形KPMN是菱形．
此時菱形的高為1，邊長為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，所以S=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、平行四邊形的性質、勾股定理、二元二次方程組、菱形的判定和性質等知識，第一個問題中的②解題的關鍵是正確尋找點B的位置，第二個問題中的②的解題關鍵是學會利用方程組解決問題，屬于中考壓軸題．