Question

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，O為圓心，AD、BD是半圓的弦，且∠PDA=∠PBD．延長PD交圓的切線BE于點E

（1）判斷直線PD是否為⊙O的切線，并說明理由；

（2）如果∠BED=60°，PD=，求PA的長．

（3）將線段PD以直線AD為對稱軸作對稱線段DF，點F正好在圓O上，如圖2，求證：四邊形DFBE為菱形．

Answer 1

【答案】（1）直線PD為⊙O的切線，證明詳見解析；（2）PA=1；（3）詳見解析.

【解析】

（1）連接OD，由AB是圓O的直徑可得∠ADB=90°，進而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直線PD為⊙O的切線；

（2）根據BE是⊙O的切線，則∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD為⊙O的切線，得∠PDO=90°，根據三角函數的定義求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；

（3）根據題意可證得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圓O的直徑，得∠ADB=90°，設∠PBD=x°，則可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圓內接四邊形的性質得出x的值，可得出△BDE是等邊三角形．進而證出四邊形DFBE為菱形．

（1）直線PD為⊙O的切線，

理由如下：

如圖1，連接OD，

∵AB是圓O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠BDO=90°，

又∵DO=BO，

∴∠BDO=∠PBD，

∵∠PDA=∠PBD，

∴∠BDO=∠PDA，

∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，

∵點D在⊙O上，

∴直線PD為⊙O的切線；

（2）∵BE是⊙O的切線，

∴∠EBA=90°，

∵∠BED=60°，

∴∠P=30°，

∵PD為⊙O的切線，

∴∠PDO=90°，

在Rt△PDO中，∠P=30°，PD=，

∴，解得OD=1，

∴=2，

∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；

（3）如圖2，

依題意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，

∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，

∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，

∵AB是圓O的直徑，

∴∠ADB=90°，

設∠PBD=x°，則∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，

∵四邊形AFBD內接于⊙O，

∴∠DAF+∠DBF=180°，

即90°+x+2x=180°，解得x=30°，

∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，

∵BE、ED是⊙O的切線，

∴DE=BE，∠EBA=90°，

∴∠DBE=60°，∴△BDE是等邊三角形，

∴BD=DE=BE，

又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，

∴△BDF是等邊三角形，

∴BD=DF=BF，

∴DE=BE=DF=BF，

∴四邊形DFBE為菱形.