Question

如圖，等邊△ABC中，D為AC中點(diǎn)，∠EDF=120°，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上，點(diǎn)E在BC的延長線上．
（1）AF、CE與AB之間的數(shù)量關(guān)系是

 

；
（2）BE、BF與AB之間的數(shù)量關(guān)系是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=AC=BC，∠A=∠B=∠ACB=60°，求出DG=DC，∠GDF=∠CDE，根據(jù)ASA推出△DCE≌△DGF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CE=GF，即可得出答案；
（2）根據(jù)上題證得的全等可以得到GF=BE，進(jìn)而可以得出結(jié)論；

解答： 證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵D為AC的中點(diǎn)，
∴AD=DC=

1

2

AC，
∵DG∥BC，
∴∠AGD=∠B=∠ADG=∠C=60°，
∴△ADG為等邊三角形．
∴AG=DG=AD，
∴DG=DC，
∵∠EDF=∠GDC=120°，
∴∠GDF=∠CDE，
在△DCE和△DGF中，

∠DGF=∠DCE DC=DG ∠GDF=∠CDE

，
∴△DCE≌△DGF（SAS）；
∴CE=GF，
∴AF-CE=AF-GF=AG=

1

2

AB，
即：AF-CE=

1

2

AB，
故答案為：AF-CE=

1

2

AB．

（2）∵△GDFF≌△CDE，
∴DF=DE．DG=DC．
∵BE+BF=BC+GF+BF，
∴BE+BF=BG+BC
設(shè)BA=BC=AC=2a，
∴CD=AD=BG=a，
∴BC+BG=3a，
∴BC+BG=

3

2

AB，
即：BE+BF=

3

2

AB．
故答案為：BE+BF=

3

2

AB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，線段中點(diǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)正確作輔助線證明三角形全等是關(guān)鍵．